@(Aaron)[机器学习 | 多层感知机]

主要内容包括：

• 多层感知机的基本知识
• 使用多层感知机图像分类的从零开始的实现
• 使用pytorch的简洁实现

[TOC]

多层感知机的基本知识

  深度学习主要关注多层模型。在这里，我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。

  多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：

$\begin{array}{l} {\boldsymbol{H}=\phi\left(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_{h}+\boldsymbol{b}_{h}\right)} \\ {\boldsymbol{O}=\boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_{o}+\boldsymbol{b}_{o}} \end{array}$

  其中$\phi$表示激活函数。

隐藏层

  下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。

表达公式

  具体来说，给定一个小批量样本 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$，其批量大小为 $n$，输入个数为 $d$ 。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为 $h$ 。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为$H$，有$\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}$。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为$\boldsymbol{W}_{h} \in \mathbb{R}^{d \times h}$和 $\boldsymbol{b}_{h} \in \mathbb{R}^{1 \times h}$，输出层的权重和偏差参数分别为$\boldsymbol{W}_{o} \in \mathbb{R}^{h \times q}$和$\boldsymbol{b}_{o} \in \mathbb{R}^{1 \times q}$。

  我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的计算为

$\begin{array}{l} {\boldsymbol{H}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_{h}+\boldsymbol{b}_{h}} \\ {\boldsymbol{O}=\boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_{o}+\boldsymbol{b}_{o}} \end{array}$

  也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

$\boldsymbol{O}=\left(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_{h}+\boldsymbol{b}_{h}\right) \boldsymbol{W}_{o}+\boldsymbol{b}_{o}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_{h} \boldsymbol{W}_{o}+\boldsymbol{b}_{h} \boldsymbol{W}_{o}+\boldsymbol{b}_{o}$

  从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为$\boldsymbol{W}_{h} \boldsymbol{W}_{o}$，偏差参数为$b_{h} W_{o}+b_{o}$。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

  上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

  下面我们介绍几个常用的激活函数：

ReLU函数

  ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素，该函数定义为

$\operatorname{ReLU}(x)=\max (x, 0)$

  可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数xyplot。

%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    # d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

Sigmoid函数
  sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：

$\operatorname{sigmoid}(x)=\frac{1}{1+\exp (-x)}$

y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

  依据链式法则，sigmoid函数的导数

$\text { sigmoid}^{\prime}(x)=\operatorname{sigmoid}(x)(1-\operatorname{sigmoid}(x))$

  下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')

tanh函数

  tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

$\tanh (x)=\frac{1-\exp (-2 x)}{1+\exp (-2 x)}$

  我们接着绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。

y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

  依据链式法则，tanh函数的导数

$\tanh ^{\prime}(x)=1-\tanh ^{2}(x)$

  下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

关于激活函数的选择

  ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

###图像分类数据集（Fashion-MNIST）
Fashion-MNIST是一个多类图像分类数据集。它将在后面被多次使用，以方便我们观察比较算法之间在模型精度和计算效率上的区别。图像分类数据集中最常用的是手写数字识别数据集MNIST[1]。但大部分模型在MNIST上的分类精度都超过了95%。为了更直观地观察算法之间的差异，我们将使用一个图像内容更加复杂的数据集Fashion-MNIST[2]。

使用多层感知机图像分类的从零开始的实现及pytorch重新实现

参考：https://github.com/Sandy1230/Dive-into-DL-PyTorch-master